MATEMATIKA DASAR

POLINOMIAL / SUKUBANYAK
1. Pengertian Sukubanyak
Bentuk Umum : axn + bxn-1 + cxn-2 + ….+ qx + r
Variable x
• Derajat sukubanyak n
• Koefisien sukubanyak : a , b , c , … , q , r
• Banyaknya koefisien = n + 1
• Pangkat bilangan cacah.
2. Nilai sukubanyak
F(x) = x 3 + 3x 2 – 4x – 3
• Cara subtitusi : Kita tinggal mengganti x dengan nilai yang diminta.
f( 2 ) = 2 3 + 3.2 2 – 4.2 – 3 = 9
• Cara bagan : Tuliskan koefisien dari sukubanyak



Sehingga f( 2 ) = 9
3. Kesamaan sukubanyak
Dua sukubanyak dikatakan sama jika derajat dan tiap suku yang bersesuaian sama.
4. Pembagian sukubanyak
• Pembagian terstruktur / porogapit ( semua bisa mengunakan ini )
• Pembagian sintetik :
* Pembagi harus linear atau dapat dibuat menjadi faktor linear
* jika dibagi ax + b maka hasil bagi harus dibagi a.
5. Teorema Sisa
Jika f (x) dibagi x – a maka sisanya f (a).
6. Teorema faktor
Jika f ( a ) = 0 maka x - a merupakan faktor dari f (x)
7. Persamaan polinom
• Diselesaikan dengan cara difaktorkan dahulu. Untuk memfaktorkan gunakan teorema faktor.
• Sifat – sifat akar persamaan :
ax 2 + bx + c = 0 1. x 1 + x 2 = -b / a
2. x 1 . x 2 = c / a
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 1. x1 + x2 + x3 = -b/a
2. x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
3. x1.x2.x3 = -d/a
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
1. x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
2. x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
3. x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = -d/a
4. x1.x2.x3.x4 = e/a

KOMPOSISI FUNGSI
Fungsi :
• Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
• Pada fungsi f : A -- B , himpunan A disebut daerah asal ( domain ) fungsi f dan dinotasikan dengan Df. Himpunan B disebut daerah kawan ( kodomain ) dan dinotasikan dengan Kf. Himpunan semua peta A di B disebut daerah hasil ( range ) dan dilambangkan Rf.
Fungsi Komposisi :
• Apabila f suatu fungsi dari A ke B, dan g suatu fungsi dari B ke C, maka h suatu fungsi dari A ke C disebut fungsi komposisi dari f dan g dan dinyatakan dengan h = g o f ( dibaca : g bundaran f atau g komposisi f ). (g o f)(x) = g ( f(x) )
• Umumnya tidak komutatif (f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
• Bersifat asosiatif : (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
• Ada identitas sehingga (I o f)(x) = (f o I)(x)
Fungsi Invers :
• Apabila f adalah fungsi dari A ke B, maka invers fungsi f adalah relasi dari B ke A. Invers fungsi suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi, jika invers fungsi merupakan fungsi maka invers tersebut dinamakan fungsi invers.
• Fungsi f mempunyai fungsi invers f -1 jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif / korespondensi satu-satu.
• f ( a ) = b setara dengan f -1 (b) = a
• (f -1) -1(x) = f(x).
• (f o g) -1(x) = (g -1 o f -1)(x).
• (f o f -1)(x) = (f -1 o f)(x) = I(x)
• ((f o g) o g -1 )(x) = f(x)
• (f -1 o(f o g))(x) = g(x).

LIMIT
• Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ditulis .Nilai limit fungsi tersebut adalah harga yang didekati fungsi jika variabel fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses mendekati ini bisa dari kiri (disebut limit kiri ditulis ) dan bisa dari kanan (disebut limit kanan ditulis ).
• Fungsi dikatakan mempunyai limit jika nilai limit kiri dan limit kanannya sama.
• Untuk fungsi tunggal limit kiri dan kanan selalu sama sehingga tidak perlu kita cari limit kiri dan kanannya, tetapi untuk fungsi majemuk harus diperiksa limit kiri dan limit kananya.
1. LIMIT FUNGSI UNTUK X MENDEKATI a

 Jika maka f(x) harus disederhanakan / diubah dengan cara :
 difaktorkan (untuk derajat 3 atau lebih pakai “porogapit”)
 jika ada akar dikali sekawan bentuk akarnya kemudian difaktorkan.
2. limit f(x) untuk x mendekati

 Jika f(x) diubah dahulu dengan cara dibagi x pangkat yang terbesar.
 Jika f(x) dikali sekawan dahulu baru dibagi dengan x pangkat yang terbesar.
3. LIMIT BENTUK KHUSUS
atau
4. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI


 Jika ada bentuk cosinus dan hasilnya 0/0 maka bentuk tersebut diubah dengan menggunakan rumus cos 2x = 1 – 2 sin2x .
 Bentuk sin dan tan diatas dapat diperluas lagi menjadi :

5. TEOREMA LIMIT
1. Limit suatu fungsi konstanta nilainya sama dengan konstanta itu.
2. Limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya
3. Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi. Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi.
4. Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu.
5. Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi.
6. Limit hasil bagi beberapa fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan catatan limit penyebut tak boleh sama dengan nol.
7. Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu.
8. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu.
6. DERET GEOMETRI TAK-BERHINGGA
Jumlah n suku pertama deret geometri adalah :
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1
Sn =
Jika banyaknya suku bertambah terus sampai mendekati tak terhingga maka jumlahnya akan menjadi
(untuk |r|<1)
Sehingga jumlah tak hingga deret geometri biasa dirumuskan :
7. KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS FUNGSI
• Fungsi dikatakan kontinu di setiap titik jika grafik fungsi tersebut berkesinambungan / tidak terputus. Jika grafik fungsi terputus di x = a maka fungsi tersebut dikatakan diskontinu di x = a. Untuk menunjukkan suatu fungsi f(x) kontinu di x=a kita cukup menunjukkan bahwa :
1. f(a) ada
2. ada
3.
• Jika salah satu saja syarat diatas tidak dipenuhi maka f(x) dikatakan diskontinu di x = a.
• Untuk mengecek apakah suatu fungsi kontinu disetiap titik atau tidak kita tidak perlu mengecek semua titik yang ada, cukup kita cek titik “kritis” saja (pembuat nol penyebut, perpindahan penggunaan fungsi)

DIFERENSIAL / TURUNAN
Turunan fungsi f(x) untuk tiap nilai x ditentukan dengan rumus :

RUMUS – RUMUS TURUNAN
1. f(x) = k maka f′(x) = 0
2. f(x) = ax maka f′(x) = a
3. f(x) = ax n maka f′(x) = an x n-1
4. f(x) = u(x) ± v(x) maka f′(x) = u′(x) ± v′(x)
5. f(x) = (u(x))n maka f′(x) = n ( u(x) )n-1 . u′(x)
6. f(x) = u(x) . v(x) maka f′(x) = u′(x).v(x) + u(x).v′(x)
7. maka
8. f(x) = sin u maka f ′(x) = cos u . u′
9. f(x) = cos u maka f′(x) = - sin u . u′
10. f(x) = tan u maka f′(x) = sec 2 u . u′
11. f(x) = cotan u maka f′(x) = - cosec 2 u . u′
12. f(x) = sec u maka f′(x) = sec u . tan u . u′
13. f(x) = cosec u maka f′(x) = - cosec u . cotan u . u′
14. maka
15. maka
16. f(x) = Ln u maka
17. maka
18. maka
Persamaan Garis Singgung Kurva
• Suatu titik P(x1,y1) terletak pada kurva y = f(x) , maka persamaan garis singgung yang melalui titik itu adalah y – y1 = m (x – x1) dengan m = f′(x1).
• Dua garis sejajar jika m1 = m2 dan saling tegak lurus jika m1.m2 = -1.
Fungsi naik dan fungsi turun
• Fungsi f(x) naik jika f′(x) > 0
• Fungsi f(x) turun jika f′(x) < 0
• Fungsi f(x) stasioner jika f′(x) = 0
Titik stasioner dan jenis stasioner
• Jika f′(a) = 0 maka x=a disebut pembuat stasioner, f(a) disebut nilai stasioner dan (a , f(a)) disebut titik stasioner.
• (a , f(a)) disebut titik balik maksimum jika f′(a-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) < 0 atau jika f′(a) = 0 dan f′′(a) < 0.
• (a , f(a)) disebut titik balik minimum jika f′(a-) < 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) > 0 atau jika f′(a) = 0 dan f′′(a) > 0.
• (a , f(a)) disebut titik belok jika f′(a-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) > 0 atau f′(a-) < 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) < 0 atau jika f′(a) = 0 dan f′′(a) = 0.